Operadores hermíticos y observables

En el post sobre la mecánica cuántica se hablaba, en el segundo postulado, de que a las variables clásicas se les asocia un operador hermítico. ¿Qué significa lo de operador? Un operador es un objeto matemático que actúa de una determinada manera (y no hace falta una definición más precisa) sobre un vector de estado.

La forma más fácil de ejemplificar esto es para una base discreta, digamos de dos elementos, el operador "intercambio de coordenadas". Imaginemos que tenemos el vector de estado . Lo de los y es porque hace falta que el vector de estado esté normalizado a la unidad (es decir, que ). Entonces podemos definir el "operador intercambio" tal que al hacerlo actuar sobre nos quede

.

Es decir, hemos intercambiado las cordenadas del vector de estado. Entonces, podemos representar el operador como una matriz en la base en la forma



donde hemos simplificado la notación .

Vemos que, efectivamente,



Por tanto, en una base discreta (de dimensión 2 en este caso), podemos representar un operador mediante una matriz. Para bases continuas, como , la cosa se complica un poco.

¿Qué significa lo de hermítico? Esto es muy fácil: simplemente que el operador ha de ser igual a su operador adjunto. El operador adjunto se obtiene cambiando todos los elementos del operador por sus respectivos complejos conjugados y trasponiendo la matriz. La condición de hermiticidad se escribe .

Por último, ¿qué es un observable? Un observable es una magnitud física medible que representamos mediante un operador hermítico: energía, posición, momento, spin, etcétera. Una vez hecha la medida, los posibles valores que obtengamos son los valores propios del operador, como vimos en el tercer postulado. El observable más importante que hay por ahí es el operador hamiltoniano .

Después de todo este tostón que probablemente nadie lea, acabamos de sentar algunas bases para más adelante hablar del operador hamiltoniano y de la ecuación de Schrödinger.


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