El gato de Schrödinger: La función de ondas

Como prometí, la siguiente entrada corresponde a la función de ondas, i.e., qué es y para qué sirve.

En muchos cursos introductorios a la mecánica cuántica se suele evitar la notación de Dirac, que son los símbolos raros que usé en los postulados para escribir los vectores de estado (que es lo mismo que función de ondas, cuando no lo representamos en una base concreta), o sea, los

. Éstos se llaman, respectivamente, ket y bra, que es un juego de palabras para que el producto escalar, es decir, el

, te quede braket, que es la palabra inglesa para decir paréntesis. Ingenioso, ¿no? La verdad es que no sé a quién se le ocurrió la tontería, pero los físicos del siglo XX cogieron el gusto a eso de poner nombres pintorescos a las cosas, como dar colores a los quarks, por ejemplo.

El caso es que estos vectores no son vectores en el sentido estricto de la palabra, no son representables por "flechitas". En el espacio tridimensional representamos direcciones mediante los vectores que aprendimos en el instituto, los

. En mecánica cuántica, no existe la noción de trayectoria. Es decir, no hay modo de saber el conjunto de puntos del espacio por el que se mueve una partícula. El vector de estado es un objeto matemático abstracto que representa el estado del sistema, sea cual sea éste. Más adelante veremos para qué nos sirve el vector de estado si no es más que un objeto abstracto.

Como dijimos, los vectores de estado no forman parte de un espacio vectorial corriente, sino de un espacio de Hilbert, que es algo así como la generalización de un espacio vectorial al conjunto de números complejos. Es decir, las componentes de los vectores no son números reales sino complejos (vemos ahora cómo la idea de dirección y flechitas pierde todo el sentido).

La noción de vectores de estado cobra más sentido cuando pasamos a hablar de función de ondas. La función de ondas es la proyección del vector de estado sobre una base concreta. Por ejemplo, si proyectamos el vector de estado sobre la base de posiciones

, nos quedaría

, donde

es la función de ondas en representación de posiciones. El módulo cuadrado de esa función,

, nos da la densidad de probabilidad de presencia de la partícula en la posición

, como vimos con los postulados.

Y aquí está el truco, nosotros normalmente no sabemos cuánto vale

, sólo lo usamos para hacer cálculos teóricos y asegurarnos de que matemáticamente todo está en orden. En la "vida real", se trabaja con las funciones de ondas